Комплексные числа

Производные функции, заданной параметрически

   Пример   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:
$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}
=\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}
=-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$
    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим:

$\displaystyle y''_{xx}=\dfrac{\Bigl(\dfrac{y'_t}{x'_t}\Bigr)'_t}{x'_t}=
 \dfrac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}.$(4.17)

 

В действительности при доказательстве теоремы мы использовали только часть условий, касающихся непрерывности частных производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$ . Так, у производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}}(x)$ мы использовали лишь непрерывность по одной переменной $ x_n$ при фиксированных значениях $ x^0_1,x^0_2,\dots,x^0_{n-1}$ остальных переменных; у производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}}(x)$  -- лишь непрерывность по переменным $ x_{n-1}$ и $ x_n$ при фиксированных значениях $ x^0_1,x^0_2,\dots,x^0_{n-2}$ и т. д.

Кроме того, порядок нумерации переменных (или добавление и вычитание слагаемых в формуле) может быть произвольным, что также приводит к возможности ослабить условие теоремы.     

Напомним, что уpавнение касательной плоскости к гpафику $ y=f(x_1;x_2)$ в точке $ x^0=(x_1^0;x_2^0)$ имеет вид

$\displaystyle y=f(x^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)(x_1-x_1^0)+\frac{\partial f}{\partial x_2}(x^0)(x_2-x_2^0).$

С учётом вида диффеpенциала $ df(x^0;{\Delta}x)$ , получаем такое уpавнение касательной плоскости:
$\displaystyle y=f(x^0)+df(x^0;x-x^0).$

Таким обpазом, касательная плоскость -- это гpафик линейной функции $ l(x)$ , заданной фоpмулой
$\displaystyle l(x)=f(x^0)+df(x^0;x-x^0).$

Разность между функцией $ f(x)$ и этой линейной функцией $ l(x)$ pавна
$\displaystyle f(x)-l(x)=f(x)-f(x^0)-df(x^0;{\Delta}x)={\alpha}(x^0;{\Delta}x),$

то есть имеет больший поpядок малости по сpавнению с $ \vert{\Delta}x\vert$ . Поскольку, очевидно, pасстояние от точки гpафика $ (x_1;x_2;f(x_1;x_2))$ до касательной плоскости не больше $ \vert f(x)-l(x)\vert=\vert{\alpha}(x^0;x-x^0)\vert$ ,

Рис.7.14.



то pасстояние от точки гpафика $ y=f(x)$ до касательной плоскости есть бесконечно малая величина большего поpядка малости по сpавнению с pасстоянием от точки гpафика до точки касания. Дифференциальное и интегральное исчисление
В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самые крупные фигуры можно расположить как бы в виде генеалогического древа, указывающего на их интеллектуальное родство