Комплексные числа

Матрицы, Определители

 Пример   Вычислите определитель матрицы
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\
-6&7&1&-1\end{array}\right)$
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\dfrac32$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3...
...ay}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi...
...-1&3&2\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $ -\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi...
...-1&3&2\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$
Определитель не меняется. В результате получаем
$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0&
\phantom...
...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\
-3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b...
...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $ {-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b...
...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$
В результате получаем
\begin{multline*}
\vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\...
...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497.
\end{multline*}

Ответ. $ \vert A\vert=497$ .      

Если область $ {\Omega}$ не связна, то промежуточное значение $ C$ непрерывная функция может и не принимать ни в одной точке области. Пусть, например, $ {\Omega}$ состоит из двух открытых полуплоскостей: левой, $ x_1<0$ , и правой, $ x_1>0$ (выше мы видели, что такая область $ {\Omega}$ не связна). Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=\mathop{\rm sign}\nolimits (x_1)$ в области $ {\Omega}$ ; эта функция тождественно равна $ -1$ в левой полуплоскости и тождественно равна 1 в правой полуплоскости. В любой точке $ x$ области $ {\Omega}$ функция непрерывна, поскольку постоянна в некоторой круговой окрестности этой точки; поскольку область открыта, такая круговая окрестность, целиком содержащаяся в $ {\Omega}$ , существует для любой точки $ x\in{\Omega}$ . Однако никакое промежуточное значение $ C$ , такое что $ -1<C<1$ (например, $ C=0$ ), функция нигде не принимает. Дифференциальное и интегральное исчисление
В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самые крупные фигуры можно расположить как бы в виде генеалогического древа, указывающего на их интеллектуальное родство