Комплексные числа

Производные высших порядков

   Пример   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$
    
        Пример   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx};
y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$     
Замечание   Если область, в которой функция непрерывна, не является замкнутой или не является ограниченной, то утверждения теоремы могут быть и не верны, как показывают следующие примеры:

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2-1}}$ непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге $ {\Omega}=\{x_1^2+x_2^2<1\}$ . Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функции $ f$ на диаметр круга, заданный условием $ x_2=0$ .

Функция $ f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2+1}}$ непрерывна на всей плоскости $ x_1Ox_2$ . Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как

$\displaystyle 0<f(x_1;x_2)\leqslant 1$

при всех $ x_1$ и $ x_2$ , принимает максимальное значение 1 в точке $ (0;0)$ , но не имеет минимального значения:
$\displaystyle \inf_{x\in\mathbb{R}^2}f(x)=0,$

то есть значения $ f(x)$ могут быть как угодно близки к 0, однако в любой точке $ x$ значение $ f(x)>0$ и, следовательно, ни в какой точке $ x$ значение $ f(x)$ не равно 0. Дифференциальное и интегральное исчисление
В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самые крупные фигуры можно расположить как бы в виде генеалогического древа, указывающего на их интеллектуальное родство