Комплексные числа

Производные высших порядков

Пример Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x;
y^{(4k+1)}(x)=\cos x;
y^{(4k+2)}(x)=-\sin x;
y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что
$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$   
 

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$
    
       Пример   Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\textstyle{2x_1x_2}}{\textst...
...x_1;x_2)\ne(0;0);\\
0,&\text{ если }x_1=0\text{ и }x_2=0.
\end{array}\right.$

Эта функция разрывна в точке $ (0;0)$ , поскольку в любой, как угодно малой окрестности начала координат имеются точки вида $ ({\varepsilon};{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно
$\displaystyle f({\varepsilon};{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot{\varepsilon}}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=1,$

а также точки вида $ ({\varepsilon};-{\varepsilon})$ , где $ {\varepsilon}\ne0$ , в которых значение функции равно
$\displaystyle f({\varepsilon};-{\varepsilon})=\frac{2{\varepsilon}\cdot(-{\varepsilon})}{{\varepsilon}^2+{\varepsilon}^2}=-1,$

а значение $ f(0;0)$ равно 0.

Однако ограничение функции $ f$ как на прямую $ x_2=0$ , так и на прямую $ x_1=0$ , проходящие через начало координат, тождественно равно 0:

$\displaystyle f\vert _{x_2=0}=f(x_1;0)=0;\
f\vert _{x_1=0}=f(0;x_2)=0,$

так что и производные от этих ограничений в точке 0 равны 0, то есть
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(0;0)=0;\
\frac{\partial f}{\partial x_2}(0;0)=0.$

Итак, обе частные производные в начале координат существуют, но функция разрывна в начале координат. Дифференциальное и интегральное исчисление
В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самые крупные фигуры можно расположить как бы в виде генеалогического древа, указывающего на их интеллектуальное родство