Комплексные числа

Умножение матриц

Пример Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .
Решение. Рассмотрим произведение $ AB$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (A)$ равно 3, число строк во втором сомножителе $ (B)$ тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено.
Результатом умножения будет матрица $ C$ , $ C=AB$ , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица $ C$ имеет размеры $ 3\times 2$ .
Находим элемент $ c_{11}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{11}=1\cdot3+2\cdot1+(-1)\cdot4=1.$
Находим элемент $ c_{12}$ . В его вычислении участвует первая строка $ \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{12}=1\cdot(-2)+2\cdot0+(-1)\cdot(-3)=1.$
Все элементы первой строки матрицы $ C$ вычислены. Находим элемент $ c_{21}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и первый столбец $ \left(\begin{array}{r}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{21}=3\cdot3+4\cdot1+0\cdot4=13.$
Находим элемент $ c_{22}$ . В его вычислении участвует вторая строка $ \left(\begin{array}{rrr}3&4&0\end{array}\right)$ первого сомножителя $ (A)$ и второй столбец $ \left(\begin{array}{r}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ второго сомножителя $ (B)$ :
$\displaystyle c_{22}=3\cdot(-2)+4\cdot0+0\cdot(-3)=-6.$
Вычислены все элементы второй строки матрицы $ C$ . Аналогично находим элементы третьей строки:
$\displaystyle c_{31}=(-1)\cdot3+2\cdot1+(-2)\cdot4=-9,$
$\displaystyle c_{32}=(-1)\cdot(-2)+2\cdot0
+(-2)\cdot(-3)=8.$
Итак, $ C=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ .
Рассмотрим произведение $ BA$ . Число столбцов в первом сомножителе $ (B)$ равно 2, число строк во втором сомножителе $ (A)$ равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено.
Ответ: $ AB=\left(\begin{array}{rr}1&1\\ 13&-6\\ -9&8\end{array}\right)$ , произведение $ BA$ не определено.

Сразу же заметим, что значения частных производных от функции $ f$ в точке $ x^0$ , вычисленные по разным переменным $ x_i$ и $ x_j$ , могут быть различными, так что обозначение типа $ f'(x)$ , без указания переменной, по которой вычислена частная производная, не имеет смысла: в обозначении обязательно нужно указывать переменную, по которой мы дифференцируем.

Итак, чтобы вычислить частную производную от функции $ f$ по некоторой переменной $ x_i$ , нужно фиксировать значения всех переменных, кроме $ x_i$ (то есть временно считать их постоянными), а затем по обычным правилам вычисления производных найти производную по этой единственной переменной $ x_i$ . Теперь ясно, что для вычисления частных производных никаких новых правил дифференцирования вдобавок к тем, что известны нам для функций одной переменной, не потребуется, ведь при вычислении частной производной мы считаем, что может изменяться только одна переменная.

Считая точку $ x=x^0$ , в которой вычисляется значение частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ , переменной точкой области $ {\Omega}$ и предполагая, что во всех точках $ x=x^0$ эта производная существует, мы получаем, что частная производная $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$  -- это функция, заданная в области $ {\Omega}$ (или в её части, если производная существует не везде в $ {\Omega}$ ).

Поскольку частную производную функции $ f$ можно вычислять по каждой из $ n$ переменных $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ , то функция $ f$ имеет $ n$ частных производных

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x);\ \dots;\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$

Эти частные производные, вообще говоря, -- различные функции. Их называют также частными производными первого порядка от функции $ f$ . Итак, функция $ n$ переменных имеет $ n$ частных производных первого порядка. Дифференциальное и интегральное исчисление
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.