Комплексные числа

Производные некоторых элементарных функций

     Пример   Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:
$\displaystyle y'=(\mathop{\rm ch}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})'=
\frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))=
\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))=\mathop{\rm sh}\nolimits x.$
    
        Пример   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)...
...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$
    
    
      Пример   Вычислим частные производные функции двух переменных
$\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

по каждой из переменных $ x_1$ и $ x_2$ .

Производную по $ x_1$ найдём, считая $ x_1$ переменной, а $ x_2$ постоянной величиной:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1;x_2)=2x_1+x_2^3+3.$

При этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных, тем, что производная от $ x_1^2$ (по $ x_1$ ) равна $ 2x_1$ , тем, что производная от $ x_1x_2^3$ (по $ x_1$ , при постоянном значении $ x_2^3$ ) равна $ x_2^3$ , тем, что производная от $ 3x_1$ (по $ x_1$ ) равна 3, и, наконец, тем, что производная постоянного слагаемого $ -2x_2$ равняется 0.

Аналогично найдём производную по переменной $ x_2$ . При этом мы считаем, что $ x_1$  -- постоянная, а меняется только $ x_2$ , по которой мы и находим производную:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1;x_2)=3x_1x_2^2-2.$

При этом слагаемые $ x_1^2$ и $ 3x_1$ постоянны, и их производная по $ x_2$ равна 0; в слагаемом $ x_1x_2^3$ множитель $ x_1$ постоянный, и его можно вынести за знак производной, а производная от $ x_2^3$ равна $ 3x_2^2$ ; наконец, производная от $ -2x_2$ равняется $ -2$ .     

В соответствии с изученным в первом семестре смыслом производной функции одного переменного (напомним, что производная $ g'(t_0)$ функции $ g(t)$ равна скорости изменения значений функции $ g(t)$ в точке $ t_0$ ), cмысл частной производной $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$  -- это скорость изменения значений функции $ f(x)$ при равномерном движении с единичной скоростью через точку $ x^0$ по прямой $ l_i$ , параллельной оси $ Ox_i$ Дифференциальное и интегральное исчисление
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.