Комплексные числа

Производные некоторых элементарных функций

    Пример Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:
$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x...
... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$
    
         
        Пример   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.
Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда
$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'=
e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}...
...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}=
{\alpha}x^{{\alpha}-1}.$
    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

     

Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства $ n$ переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ . От каждой из этих функций $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ , в свою очередь, можно найти частные производные: $ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_1});\ ...
...1});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_1}),$

$ n$ производных от $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_2});\ ...
...2});\ %
\dots\ \frac{\partial}{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_2}),$

и так далее до $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_n}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_n}})$ ; всего получается $ n^2$ производных $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}}),$ где $ i,j=1,\dots,n$ . Производная $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_i}}(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_j}})$ обозначается также $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ или $ f''_{x_ix_j}$ . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции $ f$ .

Если $ i=j$ , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной $ x_i$ , что и первое, то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_i}}$ называется чистой частной производной второго порядка по переменной $ x_i$ и более кратко обозначается $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i^2}}$ .

Если же $ i\ne j$ , то частная производная второго порядка $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции $ f$ можно отыскать $ n$ чистых частных производных второго порядка и $ n^2-n$ смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_i\partial x_j}}$ и $ \frac{\textstyle{\partial^2f}}{\textstyle{\partial x_j\partial x_i}}$ , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не $ n^2-n$ , а вдвое меньше. Дифференциальное и интегральное исчисление
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.