Комплексные числа

Символ суммирования

      Пример   Вычислим несколько сумм:
1) $ \displaystyle\sum_{i=1}^5 \frac 1i=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+
\frac15=\frac{137}{60}$ .
2) $ \displaystyle\sum_{i=2}^k m^i=m^2+m^3+m^4+\ldots+m^k$ . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным $ m^2$ и знаменателем прогрессии равным $ m$ , то эту сумму легко найти
$\displaystyle \sum\limits_{i=2}^k m^i=\frac{m^2(1-m^{k-1})}{1-m}.$
3) $ \displaystyle\sum\limits_{s=0}^4 2^{s^2}=2^0+2^1+2^4+2^9+2^{16}=66067$ .
4) $ \displaystyle\sum\limits_{j=1}^5(-1)^{j+1}\sqrt{2j+0.5}=\sqrt{2.5}-\sqrt{4.5}+
\sqrt{6.5}-\sqrt{8.5}+\sqrt{10.5}\approx 2.334223$ .
5) $ \displaystyle\sum\limits_{q=1}^n 1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_n=n$ .         

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида $ \displaystyle \sum_{i=1}^na_i$ . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\ldots+a_n.$
С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}=\sum_{i=1}^k {\alpha}_i{\beta}_i,$(14.2)

где для трехмерного пространства $ k=3$ , для плоскости $ k=2$ .

Для единообразия будем считать, что

$\displaystyle \sum_{i=1}^1 a_i=a_1,$
и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.
Пример   Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ . Рассмотрим в качестве множества $ {\omega}$ круг $ B=B_1^0=\{x\in\mathbb{R}^2:\vert x\vert<1\}.$ Тогда ограничение $ f\vert _B$ задаётся той же формулой: $ f\vert _B(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , но теперь мы можем брать в качестве аргументов только такие точки $ x=(x_1;x_2)$ , для которых $ x_1^2+x^2_2<1$ , то есть $ x\in B$ .

Если же взять за множество $ {\omega}$ прямую $ l$ с уравнением $ x_2=2x_1$ на плоскости

$\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=x_1+x_2=x_1+2x_1=3x_1,$

либо
$\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=\frac{1}{2}x_2+x_2=\frac{3}{2}x_2.$

В первом случае задающее ограничение $ f\vert _l$ выражение зависит лишь от $ x_1$ и задаёт функцию одного переменного $ x_1$ : $ g_1(x_1)=3x_1$ , где $ x_1\in\mathbb{R}$ , а во втором случае -- лишь от $ x_2$ и задаёт другую функцию одного переменного: $ g_2(x_2)=\frac{3}{2}x_2$ , где $ x_2\in\mathbb{R}$ .     

Функции $ g_1$ и $ g_2$ , выражающие значение ограничения через меньшее, по сравнению с исходным, число переменных (в данном примере -- через одну переменную, $ x_1$ или $ x_2$ ) называются параметризациями ограничения $ g=f\vert _{{\omega}}$ . Те переменные, от которых зависит параметризация, называются параметрами ограничения (точнее, параметрами рассматриваемой параметризации; как показывает приведённый выше пример, одно и то же ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ может иметь различные параметризации).

При рассмотрении ограничения функции разумно использовать те параметры, при которых параметризация задаётся более простой формулой. Дифференциальное и интегральное исчисление
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.