Комплексные числа

Производная композиции

  Пример   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*}
y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\
=-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x.
\end{multline*}
    
        Пример   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$   
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$   

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $);


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$   
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$   

Поэтому
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'=
\dfr...
...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=
\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}},
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'=
\df...
...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}=
\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}};
\end{multline*}
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-...
...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}=
\dfrac{1}{1-x^2};
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x...
...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}=
\dfrac{1}{1-x^2}.
\end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     
$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$
 Пример   Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Замыканием открытого шара $ B^{x^0}_r$ служит замкнутый шар $ \{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert\leqslant r\}$ , получающийся добавлением к открытому шару сферы $ S^{x^0}_r$ . Замкнутый шар является замкнутой областью.

Замыканием открытого полупространства $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n>b\}$ служит замкнутое полупространство $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n\geqslant b\}$ , полученное добавлением к открытому полупространству ограничивающей его гиперплоскости $ \Pi=\{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n=b\}$ . Замкнутое полупространство является замкнутой областью.

Замыканием положительного октанта $ \{x\in\mathbb{R}^n:x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ служит неотрицательный октант

$\displaystyle \mathbb{R}^n_+=\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geqslant 0,\ i=1,\dots,n\}.$

Неотрицательный октант также является замкнутой областью.     

Однако не любое замкнутое множество в $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью. Например, гиперплоскость $ \Pi$ содержит все свои граничные точки (она вся состоит из своих граничных точек) и, следовательно, замкнута. Однако внутренних точек она не имеет (никакой шар не лежит целиком в гиперплоскости). Поэтому её внутренность $ \mathop{\rm int}\nolimits (\Pi)=\varnothing $ , и замыкание внутренности также пусто, то есть не совпадает с $ \Pi$ . Значит, $ \Pi$ не является замкнутой областью, поскольку $ \mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits (\Pi))\ne\Pi$ . Дифференциальное и интегральное исчисление
Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.