Комплексные числа

Производные некоторых элементарных функций

Пример   Найдём производную функции
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$
При $ x\ne0$ вычислим производную как производную произведения:
$\displaystyle f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}+x^2\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=
2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}.$
При $ x=0$ производную вычислим по формуле, служащей определением производной:
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=
\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin\dfrac{1}{h}}{h}=
\lim_{h\to0}h\sin\dfrac{1}{h}=0,$
поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины $ h$ и ограниченной величины $ \sin\dfrac{1}{h}$. Итак, $ f'(0)=0$, однако это значение не является пределом $ f'(x)$ при $ x\to0$, то есть производная $ f'(x)$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода. Действительно, в выражении для $ f'(x)$ при $ x\ne0$ первое слагаемое $ 2x\sin\dfrac{1}{x}$ стремится к 0 при $ x\to0$, однако второе слагаемое $ -\cos\dfrac{1}{x}$ не стремится ни к какому пределу при $ x\to0$, совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.
Рис.4.5.Графики функции $ f(x)$ и её производной $ f'(x)$

Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$ . Ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ с параметром $ {\varphi}$ , равным полярному углу, отыскивается тогда с помощью соотношений между декартовыми и полярными координатами:

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi},$

где $ r$  -- полярный радиус, равный $ \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ . Тогда уравнение окружности можно записать как $ r=R$ , а функция $ f\vert _{{\omega}}$ будет задаваться равенством$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x_1;x_2)=R\cos{\varphi}+R\sin{\varphi}=R(\cos{\varphi}+\sin{\varphi})=g({\varphi}),$ Дифференциальное и интегральное исчисление
Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике