Комплексные числа

Производные и дифференциалы

Пример Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:
$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$
Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:
$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t}
{\cos t^3\cdot3t^2}=
-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$
Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и
$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}%
{9t^2\cos^2t^3}.$
Поэтому
\begin{multline*}
y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}=
-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co...
...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}%
{27t^4\cos^3t^3}.
\end{multline*}

Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy=
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+
\frac{\partial f}{\...
...l f}{\partial x_n}(x)dx_n=
\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy=
 \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+
 \frac{\partial h}{\...
...tial h}{\partial u_n}(u)du_n=
 \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl(
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\...
... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))
 \Bigl(
 \su...
...
 dg_i(u;du)=
 \sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))
 dx_i(u;du).$   
Дифференциальное и интегральное исчисление
Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях.