Комплексные числа

Производная функции, заданной неявно

        Пример  Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части (производная правой части, очевидно, равна 0). Имеем:
$\displaystyle e^{xy}(xy)'_x+(x\cos y)'_x=e^{xy}(y+xy'_x)+\cos y-x\sin y\cdot y'_x=0.$
Слагаемые, содержащие $ y'_x$, оставим в левой части, а остальные перенесём направо:
$\displaystyle y'_x(xe^{xy}-x\sin y)=-ye^{xy}-\cos y,$
откуда
$\displaystyle y'_x=-\dfrac{ye^{xy}+\cos y}{x(e^{xy}-\sin y)}.$
Получили выражение для производной $ y'_x$, содержащее, правда, не только $ x$, но и $ y$ в правой части. Однако, несмотря на это, полученное выражение можно использовать для решения различных задач, связанных с производной. Например, можно решить такую задачу: найти для кривой, заданной уравнением $ e^{xy}+x\cos y=0$, уравнения касательной и нормали, проведённых в точке $ (-1;0)$. Действительно, при $ x=-1, y=0$ мы получаем $ y'_x=-\dfrac{1}{-1}=1$, так что нам теперь известен угловой коэффициент касательной: $ k=1$. Точка касания дана условием задачи. Поэтому уравнение касательной таково:
$\displaystyle y=0+1\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=x+1,$
а уравнение нормали -- таково:

$\displaystyle y=0-\dfrac{1}{1}\cdot(x-(-1)),$ или $\displaystyle y=-x-1.$

Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ определены в некоторой области $ {\Omega}$ . Тогда если обе они непрерывны в точке $ x^0\in{\Omega}$ , то:

1) функция $ h_1(x)=f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

2) функция $ h_1(x)=f(x)-g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

3) функция $ h_1(x)=f(x)g(x)$ непрерывна в точке $ x^0$ ;

4) если $ g(x^0)\ne0$ , то функция $ h_1(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $ x^0$ .     

Пусть $ {\omega}$  -- область в пространстве $ \mathbb{R}^m$ , и в $ {\omega}$ заданы $ n$ функций $ g_i(u)$ , $ u\in{\omega}$ , $ i=1,\dots,n$ . Предположим, что все значения вектор-функции $ x=g(u)=(g_1(u);\dots;g_n(u))$ принадлежат некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , в которой определена функция $ f(x)$ . Тогда имеет смысл композиция $ f\circ g$ функции $ f$ и вектор-функции $ g$ :

$\displaystyle (f\circ g)(u)=f(g(u)),\ u\in{\omega}.$

Рис.7.10.

  Дифференциальное и интегральное исчисление
Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях.