Пределы примеры вычислений и свойства

Пределы при разных условиях

Пусть  и рассматривается функция  . Покажем, что

Покажем, что предел функции  при  равен числу 3.

Покажем, что предел последовательности  равен 0.

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку  и параллельной векторам  и

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Пусть производится замена  и

Пусть производится замена  , где

Пусть производится замена  при базе

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Рассмотрим функцию  . Функция  -- бесконечно малая при  ,  и при

При базе  рассмотрим две бесконечно малых величины:  и

пример

Общие свойства пределов

Пусть  ,  и взята база

Найдём предел

Найдём предел

Найдите пределы:

Первый и второй замечательные пределы

Вычислим предел

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Примером бесконечно большой при  может служить

Примером отрицательной бесконечно большой при  может служить функция

пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Найдём предел  Найдём предел

Сравнение бесконечно малых

Три величины  ,  ,  являются бесконечно малыми при базе

Используя первый замечательный предел, легко видеть, что при  и

При базе  величины  и  , где $ t>0$ и  ,  , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел  постоянно и его предел равен

Согласно первому замечательному пределу,  Это означает, что

Вычислим предел

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Вычислим предел

Прямая в пространстве

Требуется найти какую-нибудь точку на прямой

Основные задачи на прямую и плоскость

Прямая задана уравнениями

Найдите точку пересечения прямой и плоскости

Найдите точку , симметричную точке относительно прямой : .

Определение непрерывности функции

Рассмотрим функцию и точку .

Пусть и . Тогда и .

Определение точек разрыва

Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при

Рассмотрим функцию , для которой

Возьмём

Рассмотрим функцию

Рассмотрим функцию , где .

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим функцию ; её область определения , и точка $ x=0$ -- точка разрыва.

Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и .     

Рассмотрим функцию

Рассмотрим функцию , заданную равенством

Окружность

Нарисуйте кривую

Парабола

Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Сфера

Нарисуйте сферу

Непрерывность функций и точки разрыва

Рассмотрим функцию (функция Хевисайда) на отрезке , .

Рассмотрим функцию на отрезке .

Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом:

Равномерная непрерывность

Рассмотрим функцию и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$.

Пусть функция рассматривается на интервале .

Линейные пространства и преобразования

Постройте параболу найдите ее фокус и директрису.

Параллельный перенос системы координат

Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Постройте кривую

Нарисуйте поверхность .

Adobe Photoshop редактор для работы с графикой