Понятие предела функции Непрерывность функций

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Основные методы интегрирования

Функция F( x ), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f ( x ), или интегралом от f ( x ), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F ¢ (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f ( x ) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f ( x ); обозначение -

ò f( x) dx .

Если F( x ) - какая-нибудь первобразная для функции f ( x ), то

ò f( x) dx = F(x) + C, (8.2)

где - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ò f(x)=f(x) dx ,

2) ò df ( x)=f(x)+C,

3) ò af ( x) dx =a ò f(x) dx (a=const),

4) ò ( f( x)+g(x)) dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx .

Список табличных интегралов

1. ò x m dx = x m +1 /( m + 1) +C ( m ¹ -1).

2. = ln ê x ê +C.

3. ò a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ¹ 1).

4. ò e x dx = e x + C.

5. ò sin x dx = cos x + C.

6. ò cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

 Ещё одним следствием рассмотренных в этом разделе вопросов является непрерывность обратных тригонометрических функций.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 Для теорем этого раздела существенны оба отмеченные в названии обстоятельства: и то, что функция непрерывна, и то, что она рассматривается на замкнутом множестве - отрезке. Если не выполнены эти условия, то все теоремы перестают быть справедливыми. Напомним опр.5.1.6: функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, при этом в точках a и b предполагается непрерывность, соответственно, справа и слева.

  Теор.5.6.1 об обращении функции в нуль. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка сÎ[a,b], в которой функция обращается в нуль: f(с) =0, a<c<b.

 Док-во. Рассмотрим случай, когда f(а)>0, f (b)<0. Возьмём среднюю точку отрезка х1=(а+b)/2. Если f(х1)=0, то теорема доказана и с =х1; иначе на концах одного из отрезков [a, х1], [х1,b] функция опять принимает значения разных знаков (на рис. это второй отрезок), при том опять на левом конце f(х)>0, на правом - f(х) <0. Обозначим этот отрезок [a1, b1]. Снова поделим этот отрезок пополам: х2=(а1+b1)/2 и снова либо f(х2)=0, либо на концах одного из отрезков [a1, х2], [х2,b1] функция опять принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], имеющую, по аксиоме VII раздела 3.1. Аксиомы действительных чисел общую точку с. Для этой точки an£ с £ bn, bn-аn®0 при n®¥, поэтому . В каждой точки аn справедливо f(аn)>0, в каждой точки bn f(bn)<0, переходя в неравенствах f(аn)>0, f(bn)<0 к пределам при n®¥ и пользуясь непрерывностью f(х), получим: , , одновременно это может иметь место, только если : f(с) =0. Теорема доказана.

 Необходимость непрерывности: функция sgn x + 0.5 принимает на концах отрезка [-1,1] значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)È(0,1], принимает  значения разных знаков в его левом и правом концах, но нигде не обращается в нуль.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Последнее свойство называется теоремой о среднем значении. Пример. Найти ò tg x dx . Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Частные производные. Метод наименьших квадратов В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных ( a ) и оборотных ( b ) фондов, R = П/( a+b ), т.е. R является функцией трех независимых переменных R = f (П, a , b ). Частными производными второго порядка функции z = f ( x , y ) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x , то вторые производные обозначаются символами .

Методы линейного программирования.
Постановка задачи оптимального программирования. Целевая функция и система ограничений. Область допустимых решений. Задача линейного программирования (ЗЛП) как частный случай задачи оптимального программирования. Целочисленное программирование.
Применение пределов в экономических расчетах