Понятие предела функции Непрерывность функций

Курсовая по математике примеры решения задач

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время
D t = t 1 - t 0 : D u = u(t 1 ) - u(t 0 ) = u(t 0 + D t) - u(t 0 ). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= D u/ D t.

Производительностью труда рабочего z(t 0 ) в момент t 0 называется предел, к которому стремится z ср. при D t ® 0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t 0 ) = u'(t 0 ).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на D х . Количеству продукции x+ D х соответствуют издержки производства K(x + D х). Следовательно, приращению количества продукции D х соответствует приращение издержек производства продукции D K = K(x + D х) - K(x).

Предел называется предельными издержками производства.

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то и называется предельной выручкой.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной ). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢ (x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают E x (y) = x/y f ¢ (x) = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Введённое обозначение согласовано со свойствами показательной функции:

;

.

  Индукцией по показателю степени  легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для  и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. Выпишем степени числа :

  и далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:  и т.д.). Итак,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом  различных значения корня -ой степени из числа  получаются при .

Экономико-математическое моделирование и его этапы. Понятие модели. Этапы экономико-математического моделирования. Классификация математических методов исследования экономики. Основные виды математических моделей в экономике. Примеры экономико-математического моделирования.
Применение пределов в экономических расчетах