Производная, правила и формулы дифференцирования
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел
= 
.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥ ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную.
Производная обозначается символами
y ¢
, f ¢ (x o ), 
,
.
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том ,ч то производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o.
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';
2) (u+v)' = u'+v';
3) ( uv )' = u'v+v'u;
4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v 2;
5) если
y = f(u), u = j (x), т.е. y = f( j (x)) - сложная функция, или суперпозиция,
составленная из дифференцируемых функций j и f, то 
,
или
;
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция
x = g(y), причем 
¹ 0, то 
.
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел
имеет свойства, аналогичным аксиомам
I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел
3.1. Аксиомы действительных чисел):
I.1. 
;
I.2.
;
I.3. Существует такой
элемент 
, что 
для 
. Этот элемент - число 
.
I.4. Для каждого элемента 
существует такой элемент 
, что 
. Этот элемент - число 
. Сумма чисел 
и 
называется разностью чисел и 
: 
.
Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.
Опр.9.1.5.
Число 
называется числом, сопряжённым к числу 
. Часто сопряжённое число обозначается
также символом 
.
Опр.9.1.6.
Действительное число 
называется модулем комплексного числа .
На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
Пусть мы нашли для функции
y=f(x) ее производную y ¢ = f ¢ (x). Производная от этой производной
называется производной второго порядка функции
f(x), или второй производной, и обозначается 
.
Найти производную сложной функции y= 
,
u=x 4 +1.