Экономико-математическое моделирование и его этапы. Понятие модели. Этапы экономико-математического моделирования. Классификация математических методов исследования экономики. Основные виды математических моделей в экономике. Примеры экономико-математического моделирования.Производная, правила и формулы дифференцирования
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел
=
.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥ ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную.
Производная обозначается символами
y ¢ , f ¢ (x o ),
,
.
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том ,ч то производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o.
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';
2) (u+v)' = u'+v';
3) ( uv )' = u'v+v'u;
4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v 2;
5) если y = f(u), u = j (x), т.е. y = f( j (x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то
, или
;
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем
¹ 0, то
.
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел
имеет свойства, аналогичным аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):
I.1.
;
I.2.
;
I.3. Существует такой элемент
, что
для
. Этот элемент - число
.
I.4. Для каждого элемента
существует такой элемент
, что
. Этот элемент - число
. Сумма чисел
и
называется разностью чисел
и
:
.
Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.
Опр.9.1.5. Число
называется числом, сопряжённым к числу
. Часто сопряжённое число обозначается также символом
.
Опр.9.1.6. Действительное число
называется модулем комплексного числа
.
На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢ = f ¢ (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается
.
Найти производную сложной функции y=
, u=x 4 +1.