Понятие предела функции Непрерывность функций

Курсовая по математике примеры решения задач

Определенные интегралы в физике

Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?

Модель 3.14. Движение с переменным ускорением.

1. Пусть материальная точка движется с ускорением a ( t ). Тогда ее скорость равна а перемещение – где v 0, x 0 – постоянные, определяемые из начальных условий, t 0 и t – начальный и конечный моменты времени.

.

 

 

 

 

Рисунок 3.4.5.1. Пусть плотность ρ( x ) стержня с постоянным сечением S зависит от расстояния до начала стержня. Тогда масса стержня равна где L – длина стержня, а центр масс стержня находится на расстоянии

3. Работа газа при его расширении от объема V 1 до объема V 2 равна где P ( V ) – давление газа в этом процессе.

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x),  (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)¹0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции  в точке х0.

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка  принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует, и .

Док-во. Возьмём "e>0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то $s>0, такое что | х- х0|<sÞ Þ | f(x)- f(x0)|<e. Так как существует = х0, то для s $d>0, такое что 0<| t- t0|<d Þ

Þ |j (t)- х0|<s. Таким образом, для "e>0 мы нашли такое d>0, что из 0<| t- t0|<dÞ

Þ | f(x)- f(x0)|= | f(j (t))- f()|<e, что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Несобственные интегралы Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Системы линейных уравнений общего вида В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Двойной интеграл в декартовых координатах Пусть область D ограничена линией r = r( ) и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Матричные представления графов. Оптимизационные задачи на графах. Структура смежности графа, метод поиска в глубину. Остовные деревья. Построение минимальных путей и максимального потока в графах. Основные понятия теории алгоритмов. Машины Тьюринга. Функции сложности алгоритмов. Методы построения эффективных алгоритмов.
Применение пределов в экономических расчетах