Понятие предела функции Непрерывность функций

Курсовая по математике примеры решения задач

Производные второго порядка

Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :

Вторая производная от параметрической функции x = x ( t ) и y = y ( t ) задается формулой:

Вторую производную иногда обозначают: В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками:

Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью то ускорение этой точки равно

Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f ( n –1) дифференцируема, то ее производную называют производной n -го порядка f ( n ) функции f .

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b).

 Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию

. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (она 1. непрерывна как разность между непрерывной f (х) и непрерывной линейной функцией; 2. в любой точке интервала (a,b) имеет производную ; 3. на концах отрезка [a,b] принимает одинаковые значения:  ). Следовательно, по теореме Ролля, $сÎ(a,b), для которой , т.е. .

 Геометрический смысл теоремы Лагранжа : так как отношение   равно угловому коэффициенту секущей АС, на кривой АС найдётся по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде АС. Следующая из теоремы Лагранжа формула  называется формулой конечных приращений Лагранжа, она позволяет оценить приращение функции на отрезке [a,b] через приращение аргумента и оценку значений производной на интервале (a,b) и часто применяется в математическом анализе.

Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров.

Производные второго порядка Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Частные производные В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V .

Понятие дифференциального уравнения Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать: ma =– kv .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y ( x , C 1, C 2,…, C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n . Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона) не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату. Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности .

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Понятия высказываний и операции над ними. Основные схемы логически правильных рассуждений. Таблицы истинности. Алгебры логических функций, булева алгебра. Эквивалентные преобразования. Нормальные формы. Полиномы Жегалкина. Предикаты и кванторы. Графы и их свойства. Маршруты на графах.
Применение пределов в экономических расчетах