Понятие предела функции Непрерывность функций

Курсовая по математике примеры решения задач

Производные элементарных функций

Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций.

а) Тригонометрические функции.

По свойству предела произведения (мы воспользовались первым замечательным пределом  ). Итак,

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и во внутренней точке  этого отрезка принимает экстремальное значение. Пусть в точке  существует . Тогда .

 Док-во от противного. Пусть  - точка экстремума функции f(x), и пусть . Рассмотрим для определённости случай, когда  - точка минимума; предположим, что . Тогда слева от точки  по теор.7.1.2 должно быть , что противоречит предположению о том, что  - точка минимума. Если мы предположим, что , то  должно быть справа от точки , чего тоже быть не может. Таким образом, .

  Случай, когда  - точка максимума, рассматривается аналогично. Геометрически теорема Ферма означает, что в точке экстремума гладкой функции касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Числа и называются соответственно пределом справаи пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Пример. Найти  ( ). Найти . Найти 1) ; 2) ; 3) .

Понятия высказываний и операции над ними. Основные схемы логически правильных рассуждений. Таблицы истинности. Алгебры логических функций, булева алгебра. Эквивалентные преобразования. Нормальные формы. Полиномы Жегалкина. Предикаты и кванторы. Графы и их свойства. Маршруты на графах.
Применение пределов в экономических расчетах