Физический смысл производной Производные элементарных функций

Контрольная по математике примеры решения задач

Непрерывность функций

Функция f  ( x ), определенная в точке a , называется непрерывной в этой точке, если

По аналогии с понятием одностороннего предела вводятся понятия функции, непрерывной в точке a слева и справа. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a , быть может, за исключением самой точки a . Точка a называется точкой разрыва , если эта функция либо не определена в точке a , либо определена, но не является непрерывной в точке a .

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

    функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; функция не определена в данной точке.

График 1.3.7.1.

График 1.3.7.2.

На рисунке показана функция Она разрывна в точке x 0 = 1, так как не существует в этой точке.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

  , (2)

.  (3)

На самом деле для фунуции S2 = S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

 . (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что если функция непрерывна в точке x 0, то она определена в этой точке.

Асимптоты Прямая x  =  a называется вертикальной асимптотой графика функции f  ( x ) при x  →  a , если выполнено хотя бы одно из условий

Обратная функция Пусть задана функция y  =  f  ( x ), Тогда каждому числу соответствует единственное число Иногда приходится по значению функции y 0 находить значение аргумента x 0, то есть решать уравнение f ( x ) = y 0 относительно x . Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f ( x ) пересекается с прямой y = y 0 ).

Кусочно-линейная функция

Вектор. Основные свойства Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ ( товаров ). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте Ортонормированный базис. Если векторы e 1 , e 2 , e 3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x 1, x 2, x 3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k. Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Балансовые модели.
Классификация методов балансового анализа. Статистическая модель межотраслевого баланса Леонтьева. Основная балансовая таблица. Матричные методы анализа. Матрица прямых затрат, матрица полных затрат. Решение балансовых задач на ЭВМ. Динамические балансовые модели.
Использование интегралов в экономических расчетах