Физический смысл производной Производные элементарных функций

Контрольная по математике примеры решения задач

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x  = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко,

Модель 4.5. Игральные кости
 

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

Математическое ожидание M x случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как < x >. Записи < x > и M x эквивалентны.

Пример

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Показать решение

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:

1 2 3 0 0,2 0,8

Значит,

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

 

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p  ( x  <  x 1/2 ) = 1/2.

Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2, и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

 

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу можно переписать следующим образом:

 

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q1 и Q2 – количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

 TU = TU(Q1,Q2). (1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q1,Q2) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M0(x0,y0) и M1(x1,y1). Расстояние r между этими точками рассчитывается по формуле

 . (2)

Пусть d  ‑ некоторое положительное число. d-окрестностью Vd точки M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам

 .

Очевидно, что d-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса d  с выколотым центром.

Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y) Î Vd (x0,y0) следует f(x,y) > f(x0,y0).

Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y) Î Vd (x0,y0) следует: f(x,y) < f(x0,y0).

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x .

Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: D x  +  y  =  D x  +  D y .

Дискретные распределения вероятностей Пусть случайная величина принимает дискретные значения. К таким величинам, например, относятся количество очков при бросании кубика или количество угаданных номеров в лотерее «Спортлото». Вспомним, что закон распределения случайной величины образуют множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Законы распределения могут быть вычислены исходя из логики процесса или измерены, если у нас есть достаточно большая статистическая выборка. Но для некоторых часто встречающихся типов процессов можно не выводить распределение, а использовать стандартное похожее. Ролик кодового замка содержит N возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. С какой вероятностью его можно открыть точно с k -го раза? Сосуд с N молекулами идеального газа мысленно разделён на две части, V 1 и V 2. Найти вероятность того, что в объёме V 1 будет содержаться N 1, а в объёме V 2  будет содержаться  N 2 молекул. Пьяница случайным образом делает шаг вперёд или назад. Оцените, за какое количество шагов ему удастся добраться до дома, находящегося на расстоянии l от начала пути, при длине шага d ?

Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале ( a ;  b ), то такая случайная величина называется непрерывной .

Непрерывные распределения вероятностей

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x , а также среднее значение величины для постоянного распределения

Определите среднее значение скорости молекул газа, если закон распределения скоростей молекул задаётся формулой Максвелла

Полученные при непосредственном измерении величины неизбежно содержат ошибки, обусловленные самыми разными причинами. Среди этих ошибок следует различать систематические и случайные. Погрешность измерения величин В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

Линеаризация элементарных функций

Правило Лопиталя

Кривые безразличия. Нахождение оптимального набора благ. Модели рынка. Паутинообразная модель. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Производственные функции и их свойства. Характеристики производственных функций. Линейная производственная функция. Функция Кобба-Дугласа.
Использование интегралов в экономических расчетах