Показательные и логарифмические уравнения Определенные интегралы в физике

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Геометрические приложения двойного интеграла

a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах,

  – в полярных координатах;

б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел. Пусть геометрическое тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, а сверху и снизу – поверхностями , где (x,y) D (D – проекция тела на плоскость OXY) (рис. 6).

Рис. 6

Тогда объем этого тела вычисляют с помощью двойного интеграла: .

Пусть дано отображение Х на Y: F : X®Y. Обратным отображением F -1: Y ® X называется отображение, которое каждому элементу уÎ Y ставит в соответствие тот элемент xÎX, для которого F(х) = у. Для того, чтобы обратное отображение было функцией, необходимо, чтобы этот элемент х определялся однозначно, т.е. чтобы прямое отображение F : X®Y было взаимно-однозначным. Таким образом, для того, чтобы функция у = f(x) с областью определения X и областью значений Y = Yf имела обратную функцию, необходимо и достаточно, чтобы она принимала разные значения в разных точках: x1¹x2 Þ f(x1) ¹ f(x2). Формальное определение:

Опр.4.1.12. Пусть функция у = f(x) взаимно-однозначно отображает множество X на множество Y. Обратной к f(x) называется функция x=g(y) с областью определения Y и множеством значений X, которая каждому уÎ Y ставит в соответствие тот элемент xÎX, для которого f(х) = у. Часто для обратной функции применяется обозначение x=f -1(y).

Очевидно, что 1. если g(y) обратна к f(x), то f(x) обратна к g(y) (т.е. эти функции взаимно обратны); 2. f(g(y)) = y, g(f(x)) = x. Очевидно также, что строгая монотонность функции обеспечивает существование обратной функции, при этом обратная функция тоже строго монотонна. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется чётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0 (т.е. если xÎX, то и -xÎX);

2. для "xÎX f(x) = f(-x).

Опр.4.1.14. Функция у = f(x) называется нечётной, если

1. её область определения симметрична относительно точки x = 0;

2. для "xÎX f(x) = -f(-x).

a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах,

  – в полярных координатах;

б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел

Вычислить двойной интеграл по области D, где D – треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(1,1) и В(0,2)

Элементы теории игр.
Постановка задачи. Парная матричная игра. Платежная матрица. Решение игр в чистых стратегиях. Смешанные стратегии. Игра 2х2 и ее геометрическая интерпретация. Эквивалентные преобразование платежных матриц. Приведение задач теории игр к ЗЛП. Решение игровых задач на ЭВМ. Игры с природой. Критерии Лапласа, Байеса, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
Тройной интеграл в декартовых координатах