Показательные и логарифмические уравнения http://sublata.com Определенные интегралы в физике

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка

Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,c), которая при любом значении параметра с является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,c) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными

Пусть в уравнении функция может быть разложена на множители и или уравнение уже имеет вид:

.

Путем деления на и на эти уравнения приводятся соответственно к виду:

.

Интегрируя левую часть соответствующего уравнения по x, а правую – по y, приходим к общему интегралу исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделим переменные:

.

Интегрируем: , откуда имеем .

Производные некоторых элементарных функций.

1. у = С = const. Так как у = С = const, то для "Dх Dу=0, поэтому .

2. у = х. В Этом случае Dу= (х+Dх)-х=Dх, поэтому .

3. у = ха . = при Dх®0 (по формуле 8 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

4. . = при Dх®0 (по формуле 6 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому  (a>0, a ¹ 1). Следствие: .

5. . ~ при Dх®0 (по формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому  (a>0, a¹1, x>0 ).

Следствие: .

6. . = = (по формуле 1 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

7. .  и, далее, так же как в в предыдущем случае, получаем .

Однородные уравнения

Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение второго порядка

Первообразная Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Совокупность всех первообразных функции f ( x ) на промежутке D называют неопределенным интегралом функции f ( x ) и обозначают символом :

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть уравнения вида y +py +qy = f(x), где p и q – постоянные, а f(x) 0, записывается в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Найти частное решение уравнения , если .

Элементы операционного исчисления

Преобразованием Лапласа, или изображением функции f(t), t R, называется функция F(p) комплексной переменной p, определяемая следующим равенством: . Таблица оригиналов и изображений

Найти оригинал изображения .

Решить дифференциальное уравнение

Методы динамического программирования.
Постановка задачи динамического программирования (ДП). Построение математической модели ДП. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Математическая теория оптимального управления. Задача о распределении средств между предприятиями.
Тройной интеграл в декартовых координатах