Показательные и логарифмические уравнения Определенные интегралы в физике

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x 0 +Δ x эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df . Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx .

 

 

 

 

Теорема существования определённого интеграла. Если функция   непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

 Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности  достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на  при условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если  неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Правила дифференцирования

Исследование функций при помощи производных Возрастание и убывание функции Теорема Лагранжа. Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [ a ; b ] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [ a ; b ] равна k , то f – линейная функция.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x 0. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка максимума.

Выпуклость функции и точки перегиба Достаточные условия наличия точки перегиба

Теория двойственности, теоремы двойственности. Свойства двойственных оценок при решении экономических задач (на примере задачи определения оптимального ассортимента продукции). Транспортная задача. Распределительный метод решения транспортной задачи (метод потенциалов). Методы многокритериальной оптимизации. Метод последовательных уступок. Решение многокритериальных задач на ЭВМ.
Тройной интеграл в декартовых координатах