Показательные и логарифмические уравнения Определенные интегралы в физике

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Геометрический смысл производной

Рисунок 3.1.2.1. Возьмем кривую CAB , выберем на ней точку M и проведем секущую AM . Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому пределу – прямой AT . Другими словами Прямую AT , обладающую таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точке A .

Угловой коэффициент секущей AM при AM →0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT : Данное равенство справедливо, если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB .

Если кривая CAB является графиком функции f ( x ), то для углового коэффициента k касательной можно записать: (здесь и далее x 0 и f ( x 0 ) – координаты точки касания). Функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 тогда и только тогда, когда к графику функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке:

Другими словами, производная функции в точке x 0 равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку ( a ; b ), задается формулой y = k ( x – a )+ b . Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так:

Проходящие через точку A прямые с угловыми коэффициентами и называются, соответственно, левой и правой касательными к графику функции y = f ( x ) в точке A. Эти касательные совпадают, если функция f дифференцируема в точке A.

Пусть графики функций y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекаются в точке A. Углом φ между их графиками называется угол, образованный касательными к ним в точке A. В этом случае

Модель 3.2. Касательная и нормаль.

Нормалью к графику функции y = f ( x ) в точке A ( x 0 ; y 0 ) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной касательная в точке x 0 становится вертикальной и задается уравнением x = x 0, а нормаль – горизонтальной: y = y 0.

 

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке   задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и составим сумму .

Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

 Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

 В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

 Если , то ; если , то .

Теория двойственности, теоремы двойственности. Свойства двойственных оценок при решении экономических задач (на примере задачи определения оптимального ассортимента продукции). Транспортная задача. Распределительный метод решения транспортной задачи (метод потенциалов). Методы многокритериальной оптимизации. Метод последовательных уступок. Решение многокритериальных задач на ЭВМ.
Тройной интеграл в декартовых координатах