Показательные и логарифмические уравнения Определенные интегралы в физике

Типовой расчет по математике примеры решения задач

Разностные уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y x , представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x . Пусть сумма Y o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада ( x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y x . Мы получаем

Y x = (1+r)Y x-1.

Если начальная сумма составляет Y o , мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Y x = Y o при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y x и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y x-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y( x ), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x , но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x , то ряд его равноотстоящих значений будет x , x+1, x+2,... и в обратном направлении: x , x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Y x, Y x+1, Y x+2,... или Y x , Y x-1, Y x-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Y x с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

D Y x = Y x+1 - Y x ,

D Y x+1 =Y x+2 - Y x+1,

D Y x+2 = Y x+3 - Y x+2,

... ... ... ... ...

Разности второго порядка

D 2 Y x = D Y x+1 - D Y x ,

D 2 Y x+1 = D Y x+2 - D Y x+1,

D 2 Y x+2 = D Y x+3 - D Y x+2,

... ... ... ... ...

Разности третьего порядка

D 3 Y x = D 2 Y x+1 - D 2 Y x,

D 3 Y x+1 = D 2 Y x+2 - D 2 Y x+1,

... ... ... ... ...

Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что  - правильная дробь.

 Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

Теория двойственности, теоремы двойственности. Свойства двойственных оценок при решении экономических задач (на примере задачи определения оптимального ассортимента продукции). Транспортная задача. Распределительный метод решения транспортной задачи (метод потенциалов). Методы многокритериальной оптимизации. Метод последовательных уступок. Решение многокритериальных задач на ЭВМ.
Тройной интеграл в декартовых координатах