Физический смысл производной Производные элементарных функций

Контрольная по математике примеры решения задач

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения

Уравнения вида   a f  ( x )  =  b a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f  ( x ) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида  

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( t ) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx¢¢, zyy¢¢, zxy¢¢ или . Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy¢¢ = (zx¢ )y¢ может не быть равной zyx¢¢ = (zy¢ )x¢. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.)

Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

 .

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0). (Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического анализа”).

Решите уравнение

Решите уравнение

Решите уравнение

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Решите уравнение

Решите уравнение

Модели производства и потребления.
Использование функций в экономике. Функции полезности, кривые безразличия, функции спроса и потребления, кривые “доход-потребление”, кривые “цена-потребление”. Основные характеристики функций: средние и предельные показатели, коэффициенты эластичности. Эластичность спроса. Целевая функция потребления
Использование интегралов в экономических расчетах