Дифференциальное и интегральное исчисление

Введение в анализ. Предел последовательности и предел функции

Формулировка необходимого условия локального экстремума (условия первого порядка). Пример, в котором необходимое условие не является достаточным. Коллинеарность градиентов. Умение читать взаимное расположение линий уровня.

Свойства предела функции.

Теорема 1(свойства предела функции).

  1. Если $ limx ® af(x) = A , то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.
  2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то limx ® af(x) = A
  3. Если limx ® af(x) = A1 и limx ® af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции. Вычисление пределов Типовой расчет Подготовка к экзамену

Теорема 2(арифметические операции над пределами). Если limx ® af(x) = A, limx ® ag(x) = B, то

  1. limx ® a[f(x)± g(x)]=A± B,
  2. limx ® af(x)g(x) = AB
  3. limx ® af(x)/g(x) = A/B, B 0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующей теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 3(предел и неравенства). Пусть f:E® R, g:E® R, h:E® R

  1. Если limx ® af(x) = A, limx ® ag(x) = B и A<B, то $ : " x О f(x)<g(x).
  2. Если для " x О E f(x) Ј g(x) Ј h(x) и существует limx ® af(x) = limx ® ah(x) = A. то существует limx ® ag(x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

limx® 0(sin x)/x = 1

Доказательство.

  1. Покажем, что
    cos 2x<(sin x)/x<1 при 0<|x|<p/2.
    Так как cos2x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x<p/2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника D OAB и сектора OAB, найдем

    Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.
  2. Из выше полученного результата следует, что
    |sin x|Ј|x| " xО R.
  3. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что
    lim x® 0sin x = 0.
  4. Теперь покажем, что
    limx® 0(sin x)/x = 1.
    Cчитая, что |x|<p/2, в силу полученного в 1) неравенства имеем
    1-sin2x<sin x/x<1.
    Но limx® 0(1-sin 2x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что
    limx® 0(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

limx ® 0(tgx)/x = 1
limx ® 0(arcsin x)/x = 1

 

Отметим, так как в начальном курсе математического анализа сначала даётся понятие предела, а лишь потом с помощью пределов определяется производная, нежелательно использовать правило Лопиталя и ряды Тейлора, которые являются следствием производной функции
Математический анализ