Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Асимптоты графика функции

Определение (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_{x® a+0}f(x) или lim_{x® a-0}f(x)равен +Ґ или -Ґ.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_{x® 2+0}1/(x-2) = +Ґ, lim_{x® 2-0}1/(x-2) = -Ґ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a (x), где lim_{x® +Ґ}a (x) = 0. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле

Справедлива

Теорема 13(существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_{x® +Ґ}f(x)/x = k, lim_{x® +Ґ}(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид f(x) = kx+b+a(x),тогда lim_{x® +Ґ}f(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k, lim_{x® +Ґ}(f(x)-kx) = lim_{x® +Ґ}(b+a(x)) = b.
2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_{x® 3± 0}5x/(x-3) = ±Ґ.Найдем наклонную асимптоту: k = lim_{x® ±Ґ}y/x = lim_{x® ±Ґ}5x/x(x-3) = 0. b = lim_{x® ±Ґ}(y-kx) =lim_{x® ±Ґ}5x/(x-3) = 5.Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.