Дифференциальное и интегральное исчисление

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков. Доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя. Изучаются формулы Тейлора и Маклорена.

Асимптоты графика функции

Определение (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x)
равен +Ґ или -Ґ.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как limx® 2+01/(x-2) = +Ґ, limx® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).


Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a (x),
где limx® +Ґa (x) = 0. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле

Справедлива

Теорема 13(существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

  1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
    f(x) = kx+b+a(x),
    тогда
    limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
    limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
  2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

limx® 3± 05x/(x-3) = ±Ґ.
Найдем наклонную асимптоту:
k = limx® ±Ґy/x = limx® ±Ґ5x/x(x-3) = 0. b = limx® ±Ґ(y-kx) =limx® ±Ґ5x/(x-3) = 5.
Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

 

Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала.
Математический анализ