Дифференциальное и интегральное исчисление билборды уходят улиц.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков. Доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя. Изучаются формулы Тейлора и Маклорена.

Формула Тейлора

Теорема (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:
(10)

Формула ( 10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x® a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+1(x) = o((x-a)n) при x® a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Курс лекций по математике Линейная алгебра Решение дифференциальных уравнений

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
(11)
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

Rn+1 = o(xn) при x® 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

 

Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала.
Математический анализ