Дифференциальное и интегральное исчисление Математический анализ

Физика билеты к экзамену
 
Элементы интерфейса
Панель инструментов
Операции с документом
Вспомогательные средства
работы
Палитра Navigator
Структура растровых
изображений
Цвета и оттенки
Плашечные цвета
Индексированный цвет
Формат PCD
Инструмент Eyedropper
Профиль монитора
Рисование и заливка
Создание узора
Использование слоев
Прозрачность и режим
наложения
Инструмент Magic Eraser
Удаление каймы
Эффекты
Текст в оболочке
Атрибуты
Тоновая коррекция
Последовательность коррекции
Эффект внутренней тени
Эффект складок
Описание контуров
Затемнение фрагмента
Фильтр Cracelure (Кракелюры)
Немного о технологии
Параметры растрирования
Формат JPEG
Определение состояний
Операции
Вложенные операции
Панель инструментов
Наборы слоев
Маски
Контур и выделение
Редактирование контура
Коррекция тонового интервала
Коррекция по цветовым
каналам
Растровые изображения
Цифровые и аналоговые сигналы
Мультимедиа
Анимация
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Математический анализ
Пределы примеры вычислений
Производные и дифференциалы
Комплексные числа
Линейные пространства
Нахождение производной функции
Точки разрыва функции
Инженерная графика
Параллельные компьютерные
архитектуры
OrCAD Capture редактор схем
Уровень микроархитектуры

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+D t количество продукции изменится от u(t0) до u0+D u = u(t0+D t).

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x 0, причем x+D x О (a,b).

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.

Пример. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Правила дифференцирования Приведем основные правила для нахождения производной

Дифференцирование сложной и обратной функций Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)). Теорема (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула (f-1(y))' = 1/f'(x).

Таблица производных простейших элементарных функций

Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

Производная степенно-показательной функции

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.Производные и дифференциалы высших порядков Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. Определение. Значение d(dn-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dny. образовании

Производная параметрически и неявно заданных функций Пусть x = f (t),y = y (t), tО [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, tО [0,2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Правило Лопиталя Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если limx® af(x) = limx® ag(x) = 0. Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д. Теорема (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1.

Выпуклость функции. Точки перегиба Определение . Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Асимптоты графика функции Определение (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x) равен +Ґ или -Ґ. Общая схема исследования функций и построение их графиков

Экономический смысл производной Ранее было установлено, что производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пример. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1? Максимизация прибыли

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл Определение (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Таблица интегралов Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.

Введение в анализ. Предел последовательности и предел функции

Предел последовательности

Элементы теории множеств Понятие множества Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет Операции над множествами

Свойства операций над множествами. Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами Функции и отображения. Определение. Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x О X ставится в соответствие один или несколько y О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной. Виды отображений. Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 О X, для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2.

Мощность множеств. Как мы можем сравнить два конечных множества? Мы можем, например, сосчитать количество элементов в каждом из них и таким образом сравнить. Но можно поступить иначе, попытаться установить биекцию между элементами. Ясно, что биекцию между двумя конечными множествами можно установить только при условии что количество элементов в них одинаково. Именно второй способ годится для сравнения бесконечных множеств. Среди бесконечных множеств простейшим является множество натуральных чисел.

Пространство действительных чисел.

Аксиоматика действительных чисел. Определение(пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы

Числовые множества. Ограниченное множество.

Принцип верхней грани. Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R.

Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью. Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Свойства предела последовательности.

Арифметические операции над последовательностями.

Фундаментальные последовательности. Определение . Последовательность xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Монотонные последовательности

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности. Определение (определение подпоследовательности). Как мы уже знаем (см. определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество nk, k = 1,2,..., nk<nk+1, то получим подпоследовательность xnk.

Приложение последовательностей в экономике. На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой. Пример Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Пример. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Предел функции. Определения и примеры.

Пусть EМ R и a – предельная точка множества E. Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E. Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности Свойства предела функции

Пример. Найти limx® 0(sin 6x)/4x; limx® 0(1-cos x)/x2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x® a, если limx ® af(x) = 0

Критерий Коши о существовании предела функции. Определение (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d,справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e.

Сравнение функций. Определение Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|Ј c |g(x)| при |x-a|<d, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a. Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке

Точки разрыва

Свойства функций, непрерывных в точке

Пример. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке: f(x) = 1/(1+21/x)

Adobe Photoshop редактор для работы с графикой