Математический анализ функции и построение графиков

Физика билеты к экзамену
 
Элементы интерфейса
Панель инструментов
Операции с документом
Вспомогательные средства
работы
Палитра Navigator
Структура растровых
изображений
Цвета и оттенки
Плашечные цвета
Индексированный цвет
Формат PCD
Инструмент Eyedropper
Профиль монитора
Рисование и заливка
Создание узора
Использование слоев
Прозрачность и режим
наложения
Инструмент Magic Eraser
Удаление каймы
Эффекты
Текст в оболочке
Атрибуты
Тоновая коррекция
Последовательность коррекции
Эффект внутренней тени
Эффект складок
Описание контуров
Затемнение фрагмента
Фильтр Cracelure (Кракелюры)
Немного о технологии
Параметры растрирования
Формат JPEG
Определение состояний
Операции
Вложенные операции
Панель инструментов
Наборы слоев
Маски
Контур и выделение
Редактирование контура
Коррекция тонового интервала
Коррекция по цветовым
каналам
Растровые изображения
Цифровые и аналоговые сигналы
Мультимедиа
Анимация
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Математический анализ
Пределы примеры вычислений
Производные и дифференциалы
Комплексные числа
Линейные пространства
Нахождение производной функции
Точки разрыва функции
Инженерная графика
Параллельные компьютерные
архитектуры
OrCAD Capture редактор схем
Уровень микроархитектуры

  • Вычисление сумм последовательностей
  • Основные формулы для вычисления сумм последовательностей Применение систем символьной математики особенно эффективно при решении задач математического анализа.
  • Последовательности с заданным числом членов Простейшими являются суммы последовательностей с фиксированным числом членов
  • Суммы с заданным пределом Особый класс образуют последовательности, у которых предел задается в общем виде значением переменной.
  • Суммы бесконечных последовательностей Многие суммы бесконечных последовательностей сходятся к определенным численным или символьным значениям, и система Maple 7 способна их вычислять
  • При вычислении сумм последовательностей надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной суммы. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками.
  • Двойные суммы Могут встречаться множественные суммы по типу сумма в сумме. Ограничимся приведением примера двойной суммы, имеющей аналитическое значение
  • Вычисление произведений членов последовательностей Обозначения параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функций вычисления сумм. Это относится, в частности, и к применению одиночных кавычек для f и k.
  • Основные формулы для произведения членов последовательностей Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая существует.
  • Примеры вычисления произведений членов последовательностей
  • При вычислении произведений надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной произведения. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками.
  • Вычисление производных Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения. Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных.
  • Дифференциальный оператор D Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff.
  • Вычисление неопределенных интегралов обычно заключается в нахождении первообразной функции. Это одна из широко распространенных операций математического анализа.
  • Конвертирование и преобразование интегралов В некоторых случаях Maple не может вычислить интеграл. Тогда она просто повторяет его. С помощью функций taylor и convert можно попытаться получить аналитическое решение в виде полинома умеренной степени
  • Вычисление определенных интегралов Определенный интеграл удобно трактовать как площадь, ограниченную кривой f(x), осью абсцисс и вертикалями с координатами, равными а и b. При этом площадь ниже оси абсцисс считается отрицательной.
  • Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования Приведенные выше примеры показывают, что интегрирование является гораздо более  тонким делом, чем это кажется на первый взгляд. Тут уместно напомнить, что и студент вуза, и профессор математики университета должны очень внимательно исследовать возможности вычисления интегралов того или иного типа разными математическими системами
  • Интегралы с переменными пределами интегрирования Если обычный определенный интеграл представлен числом (или площадью в геометрической интерпретации), то интегралы с переменными пределами являются функциями этих пределов.
  • Вычисление кратных интегралов Функции int и Int могут использоваться для вычисления кратных интегралов, например двойных и тройных.
  • Вычисление пределов функций
  • Разложение в степенной ряд Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки.
  • Разложение в ряды Тейлора и Маклорена Для разложения в ряд Тейлора используется функция taylor(expr, eq/nm, n). Здесь ехрr — разлагаемое в ряд выражение, eq/nm — равенство (в виде х=а) или имя переменной (например, х), n — необязательный параметр, указывающий на порядок разложения и представленный целым положительным числом
  • Разложение синуса в ряд Полезно сочетать разложение выражений (функций) в ряд Тейлора с графической визуализацией такого разложения. Рассмотрим документ, в котором наглядно показаны возможности представления функции рядами Тейлора и Маклорена.
  • Решение уравнений и неравенств Решение линейных и нелинейных уравнений и неравенств — еще одна важная область математического анализа. Maple 7 имеет мощные средства для такого решения. Так, для решения линейных и нелинейных уравнений в аналитическом виде используется достаточно универсальная и гибкая функция solve(eqn, var) или so1ve({eqnl,eqn2,.. .}.{varl,var2,...})
  • Решение одиночных нелинейных уравнений Обратите внимание в этих примерах на эффективность применения функции evalf, позволяющей получить решения, выраженные через функцию RootOf, в явном виде.
  • Решение тригонометрических уравнений Функция solve может использоваться для решения тригонометрических уравнений
  • Решение систем линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений созданы мощные матричные методы, которые будут описаны отдельно. Однако функция solve также может с успехом решать системы линейных уравнений.
  • Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений Функция solve может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств
  • Функция RootOf. В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде RootOf(ехрr) или RootOf(ехрr, х), где ехрr — алгебраическое выражение или равенство, х — имя переменной, относительно которой ищется решение.
  • Решение уравнений со специальными функциями К важным достоинствам Maple 7 относится возможность решения уравнений, содержащих специальные функции как в записи исходных выражений, так и в результатах решения. Приведем несколько примеров такого рода
  • Решение неравенств Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например: > (больше), < (меньше) и т. д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции solve.
  • Решение функциональных уравнений содержащего в составе равенства некоторую функцию f(x), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать функцию solve, что демонстрируют приведенные ниже примеры
  • Решение уравнений с линейными операторами Maple 7 позволяет решать уравнения с линейными операторами, например с операторами суммирования рядов и дифференцирования
  • Решение в численном виде — функция fsolve Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры
  • Решение рекуррентных уравнений — rsolve Здесь мы рассмотрим решение уравнений важного класса — рекуррентных. Напомним, что это такие уравнения, у которых заданный шаг решения находится по одному или нескольким предшествующим шагам.
  • Решение уравнений в целочисленном виде — isotve Иногда бывает нужен результат в форме только целых чисел. Для этого используется функция isolve(eqns, vans), дающая решение в виде целых чисел.
  • Функция msolve. Функция msolve(eqns,vars.m) или msolve(eqns,m) обеспечивает решение вида Z mod m (то есть при подстановке решения левая часть при делении нат дает остаток, равный правой части уравнения). При отсутствии решения возвращается объект NULL (пустой список).

Анализ функций и полиномов.

  • Поиск экстремумов функций Важным разделом математики является исследование аналитических функций. Оно обычно заключается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек перегибов, разрывов и т. д.
  • Поиск минимумов и максимумов аналитических функцийЧасто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрr служат функции стандартной библиотеки
  • Анализ функций на непрерывность Она позволяет исследовать выражение ехрr, заданное в виде зависимости от переменной х, на непрерывность. Если выражение непрерывно, возвращается логическое значение true, иначе — false. Возможен также результат типа FAIL.
  • Определение точек нарушения непрерывности Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. Поэтому важным представляется анализ функций на непрерывность. В Maple 7 функция discont(f,х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x).
  • Нахождение сингулярных точек функции Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular (ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы
  • Вычисление асимптотических и иных разложений Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени)
  • Пример анализа сложной функции Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно сложной функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4, нули, максимумы и минимумы.
  • Функции из отдельных кусков К кусочным функциям (подчас в скрытой форме) приводят функции с элементами сравнения аргумента, например abs, signum, max и др. Поэтому в Maple 7 введен достаточно мощный аппарат обработки и преобразований таких функций по частям.
  • Простые примеры применения функции piecewise Важно отметить, что созданная с помощью функции piecewise зависимость может участвовать в различных преобразованиях.
  • Работа с функциями piecewise С функциями типа piecewise можно работать, как с обычными функциями. При этом необходимые операции и преобразования осуществляются для каждой из частей функции и возвращаются в наглядной форме.
  • Определение полиномов К числу наиболее известных и изученных аналитических функций относятся степенные многочлены — полиномы. Графики полиномов описывают огромное разнообразие кривых на плоскости.
  • Выделение коэффициентов полиномов Следует обратить внимание на то, что при выполнении операции collect в прежних версиях Maple довольно часто возникала фатальная ошибка. Как видно из приведенных примеров, в Maple 7 такой ошибки уже не возникает
  • Оценка коэффициентов полинома по степеням Полином может быть неполным, то есть не содержать членов со степенями ниже некоторой. Функция lcoeff возвращает старший, а функция tcoeff — младший коэффициент полинома нескольких переменных.
  • Оценка степеней полинома Функции degree и ldegree используются, чтобы определить высшую и низшую степени полинома от неизвестного (неизвестных) х, которое чаще всего является единственным, но может быть списком или множеством неизвестных
  • Разложение полинома на множители Для контроля того, имеет ли полином несокращаемые множители, может использоваться функция irredik(p) и ее вариант в инертной форме Ireduc(p.K), где К — RootOf-выражение
  • Разложение полинома по степеням Для разложения полинома р по степеням служат инертные функции AFactor(р) и AFactors(p). Полином может быть представлен в виде зависимости от одной или нескольких переменных.
  • Вычисление корней полинома Для вычисления действительных и комплексных корней полиномов служит уже известная нам функция solve(p.x), возвращающая список корней полинома р одной переменной.
  • Основные операции с полиномами С полиномами могут выполняться различные операции. Прежде всего отметим некоторые функции, которые относятся к одному полиному
  • Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями Хотя в подавляющем большинстве случаев используются степенные многочлены (полиномы) с положительными степенями, Maple 7 не накладывает особых ограничений и на многочлены с отрицательными степенями. Например, можно задать такой степенной многочлен
  • Интерполяция, экстраполяция и аппроксимация часто выполняются по некоторой скрытой, но подразумеваемой зависимости. Например, если узловые точки функции соединить отрезками прямых, то будем иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической
  • Аппроксимация аналитически заданных функций Если функция задана аналитически, то наиболее простым способом нахождения ее аппроксимирующей зависимости является применение функции convert.
  • Полиномиальная интерполяция табличных данных Если данные некоторой зависимости у(х) заданы векторами X и Y ее дискретных значений, то для получения интерполяционного степенного многочлена достаточно записать многочлен для всех N пар значений yi(xi) при i=1...N (или i =0...N- 1, если индексы отсчетов начинаются с нуля).
  • Сплайн-интерполяция и аппроксимация Точность полиномиальной аппроксимации катастрофически падает при увеличении степени аппроксимирующих полиномов. От этого недостатка можно избавиться, используя для аппроксимации отрезки полиномов невысокой степени, применяемые для представления части узловых точек
  • Прямое и обратное Z-преобразования функций широко используются при решении задач автоматического управления. Эти преобразования задаются следующими функциями

Символьные (аналитические) операции

  • Работа с частями выражений Выражения (ехрr) или уравнения (eqn) обычно используются как сами по себе, так и в виде равенств или неравенств. В последнем случае объекты с выражениями имеют левую и правую части
  • Работа с уровнями вложенности выражений В общем случае выражения могут быть многоуровневыми и содержать объекты, расположенные на разных уровнях вложенности. Приведем две функции для оценки уровней выражений и списков
  • Преобразование выражений в тождественные формы Многие математические выражения имеют различные тождественные формы. Порою преобразование выражения из одной формы в другую позволяет получить результат, более удобный для последующих вычислений.
  • Преобразование выражений Еще одним мощным средством преобразования выражений является функция combine. Она обеспечивает объединение показателей степенных функций и преобразование тригонометрических и некоторых иных функций.
  • Контроль за типами объектов Выражения и их части в Maple 7 рассматриваются как объекты. В ходе манипуляций с ними важное значение имеет контроль за типом объектов
  • Функциональные преобразования подвыражений Нередко бывает необходимо заменить некоторое подвыражение в заданном выражении на функцию от этого подвыражения. Для этого можно воснользоваться функцией applyop
  • Функциональные преобразования элементов списков
  • Подстановки с помощью функций add, mul и seq Заметим, что операции, подобные описанным выше, Maple 7 реализует и с рядом других функций. Ограничимся примерами на подстановки с помощью функций сложения add, умножения mul и создания последовательностей seq
  • Подстановки с помощью функций subs и subsop Подстановки в общем случае служат для замены одной части выражения на другую. Частными видами подстановок являются такие виды операций, как замена одной переменной на другую или замена символьного значения переменной ее численным значением.
  • Функции сортировки и селекции Сортировка и селекция выражений широко используются в практике символьных преобразований. Для выполнения сортировки служит функция sort, применяемая в одной из следующих форм
  • Упрощение выражений Функция simplify — одна из самых мощных в системах символьной математики. Она предназначена для упрощения математических выражений. «Все гениальное просто», — любим мы повторять, хотя это далеко не всегда так.
  • Расширение выражений Функция expand раскладывает рациональные выражения на простые дроби, полиномы на полиномиальные разложения, она способна раскрыть многие математические функции
  • Разложение целых и рациональных чисел
  • Разложение выражений (факторизация) Для алгебраических выражений функция факторизации записывается в вычисляемой и не вычисляемой (инертной) формах
  • Комплектование по степеням Еще одна функция общего назначения — collect — служит для комплектования выражения ехрr по степеням указанного фрагмента х (в том числе множества либо списка).
  • Реализация итераций Ньютона в символьном виде Найти достаточно простую и наглядную задачу, решение которой отсутствует в системе Maple 7, не очень просто. Поэтому для демонстрации решения задачи с применением аналитических методов воспользуемся примером, ставшим классическим, — реализуем итерационный метод Ньютона при решении нелинейного уравнения вида f(x) - 0.
  • Вычисление интеграла по известной формуле Это говорит о том, что задача вычисления заданного интеграла в аналитической форме действительно решена. А что касается громоздкости результатов, так ведь системы, подобные Maple 7, для того и созданы, чтобы облегчить нам работу с громоздкими вычислениями — в том числе аналитическими.
  • Вложенные процедуры и интегрирование по частям Maple-язык позволяет реализовать процедуры, вложенные друг в друга. Для иллюстрации применения вложенных процедур рассмотрим операцию интегрирования по частям

Типовые средства построения графиков

  • Основные возможности двумерной графики Строятся как графики простых функций в декартовой и полярной системах координат, так и графики, показывающие реалистические образы сложных, пересекающихся в пространстве фигур с их функциональной окраской
  • Основная функция построения двумерных графиков — plot В математике широко используются зависимости вида y(x) или у(х). Их графики строятся на плоскости в виде ряда точек y1(x1), обычно соединяемых отрезками прямых. Таким образом, используется кусочно-линейная интерполяция двумерных графиков.
  • Задание координатных систем двумерных графиков В версии Maple 7 параметр coords задает 15 типов координатных систем для двумерных графиков. По умолчанию используется прямоугольная (декартова) система координат (coords=cartesian).
  • Управление стилем и цветом линий двумерных графиковMaple 7 позволяет воспроизводить на одном графике множество кривых. При этом возникает необходимость как-то идентифицировать их. Для этого можно использовать построение линий разными стилями, разными цветами и с разной толщиной.
  • Основные типы двумерных графиков Обратите внимание на то, что график функции sin(x)/x строится без характерного провала в точке х = 0, который наблюдается при построении графиков этой функции многими программами
  • Управление диапазоном изменения переменной и значения функции Для управления отображаемой на графике области служит задание диапазонов принимаемых значений для переменной и функции. В ряде случаев их можно не применять, тогда Maple автоматически задает приемлемые диапазоны.
  • Графики функций в неограниченном диапазоне Изредка встречаются графики функций f(x), которые надо построить при изменении значениях от нуля до бесконечности или даже от минус бесконечности до плюс бесконечности.
  • Графики функций с разрывами Некоторые функции, например tan(x), имеют при определенных значениях х разрывы, причем случается, что значения функции в этом месте устремляются в бесконечность
  • Графики нескольких функций на одном рисунке Важное значение имеет возможность построения на одном рисунке графиков нескольких функций. В простейшем случае для построения таких графиков достаточно перечислить нужные функции и установить для них общие интервалы изменения
  • Графики функций, построенные точками Однако часто возникает необходимость построения графиков функций, которые представлены просто совокупностями точек
  • Графики функций, заданных своими именами Способность Maple 7 к упрощению работы пользователя просто поразительна — жаль только, что многие возможности этого становятся ясными после основательного изучения программы, на что уходят, увы, не дни, а месяцы, а то и годы.
  • Графики функций с ординатами, заданными вектором Часто возникает необходимость построения графика точек, ординаты которых являются элементами некоторого вектора. Обычно при этом предполагается равномерное расположение точек по горизонтальной оси.
  • Графики функций, заданных процедурами Здесь, пожалуй, полезно обратить внимание на то, что в функции plot указывается имя процедуры без списка ее параметров.
  • Графики функций, заданных функциональными операторами Имена функций (без указания списка параметров в круглых скобках) тоже, по существу, являются функциональными операторами. Так что они также могут использоваться при построении графиков упрощенными способами.
  • Графики функций, заданных параметрически В ряде случаев для задания функциональных зависимостей используются заданные параметрически уравнения, например х = f1(t) и у =f2(t) при изменении переменной t в некоторых пределах.
  • Графики функций в полярной системе координат представляют собой линии, которые описывают конец радиус- вектора  r(t) при изменении угла t в определенных пределах — от t до t
  • Особенности применения функции plot3d. Трехмерными называют графики, отображающие функции двух переменных  z(х,у). Каждая точка zi таких графиков является высотой (аппликатой) точки, лежащей в плоскости XY и представленной координатами (х,у).
  • Параметры функции plot3d С помощью параметров р можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков, выводя или убирая линии каркасной сетки, вводя функциональную окраску поверхностей, меняя угол их обзора и параметры освещения, изменяя вид координатных осей и т. д
  • Выбор и пересчет координат трехмерных графиков Для трехмерных графиков возможно задание 31 типа координатных систем с помощью параметра сооrds= Тип _ координатной _ системы
  • Построение поверхностей с разными стилями Параметр style=hidden строит каркасную поверхность с функциональной окраской тонких линий каркаса и удалением невидимых линий. Чтобы график выглядел более четким, построение во втором примере задано линиями/черного цвета с помощью параметра color=black
  • Построение фигур в различных системах координат Приведем еще один пример построения трехмерной поверхности — на этот раз . в сферической системе координат. Здесь функция задана вообще элементарно просто — в виде числа 1. Но, поскольку выбрана сферическая система координат, в результате строится поверхность шара единичного радиуса.
  • 3D-графики параметрически заданных поверхностей Следующий пример показывает построение простого тороида — цилиндра, свернутого в кольцо. Здесь также использован прием удаления части фигуры, что делает ее представление более наглядным и красочным. Кроме того, введены параметры, задающие функциональную окраску.
  • Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора Полезно обратить внимание на параметр масштаба scalling=constrained, явно введенный в документ рис. 11.20. Его можно было бы и не вводить, поскольку этот параметр задается по умолчанию. Он выравнивает масштабы представления фигуры по осям координат, обычно используется по умолчанию и позволяет снизить до минимума геометрические искажения фигур — тор, например, при этом виден как круглая труба, свернутая в кольцо
  • Занимательные фигуры — трехмерные графики Параметрическое задание уравнений поверхности открывает почти неисчерпаемые возможности построения занимательных и сложных фигур самого различного вида
  • Двумерная быстрая графика — smartplot В последние реализации системы Maple (5, 6 и 7) введены новые функции быстрого построения графиков. Функция smartplot(f) предназначена для создания двумерных графиков. Параметр f может задаваться в виде одиночного выражения или набора выражений, разделяемых запятыми
  • Быстрое построение трехмерных графиков smartplot3d Быстрое (не в смысле ускорения самого построения, а лишь в смысле более быстрого задания построения графиков) построение трехмерных графиков обеспечивает функция smartplot3d Для этой функции задан диапазон изменения обоих аргументов -5..5.
  • Трехмерный график как графический объект Принадлежность функций plot и plot3d к функциям (в ряде книг их именуют операторами, командами или процедурами) наглядно выявляется при создании графических объектов. Графический объект — это, в сущности, обычная переменная, которой присваивается значение графической функции.
  • Задание трехмерных графиков в виде процедур Этот пример показывает еще один способ задания и построения кольца Мебиуса. Практически любые графические построения можно оформлять в виде процедур и использовать такие процедуры в своих документах.
  • Построение ряда трехмерных фигур на одном графике Функция plot3d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно вместо описания одной поверхности задать список описаний ряда поверхностей
  • Двумерные и трехмерные графические структуры Функции PLOT и PLOT3D (с именами, набранными большими буквами) позволяют создавать графические структуры, содержащие ряд графических объектов si, s2, s3 и т. д
  • Графические структуры двумерной графики Как видно из этого примера, графическая двумерная структура позволяет задавать практически любые двумерные графики и текстовые надписи в пределах одного рисунка.
  • Графические структуры трехмерной графики В качестве элементарных графических структур можно использовать уже описанные выше объекты POINTS, CURVES, POLYGONS и TEXT — разумеется, с добавлением в списки параметров третьей координаты.
Adobe Photoshop редактор для работы с графикой